如何理解實數的連續性

很多人都知道：在實數範圍內，每一個實數都可以用數軸上的點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數，我們說實數和數軸上的點一一對應。

什麼叫一一對應？一條數軸上有無數個點，可以說是「密密麻麻」的，實數有無數個，數都數不清楚。有理數和無理數構成實數，在直線上取定一個原點，一個單位長和一個方向，直線就成了數軸。因此，數軸上的每個點代表一個實數，每個實數都可以用數軸上的一個點表示。實數可以連續變化，就是說點可以在數軸上連續地運動。

如整數由小到大的變化是跳躍式的，從整數1到整數2，中間沒有任何整數；但有理數從1變到2，它們之間是密密麻麻的，跨過了許多分數，看上去找不到一段「空白」，中間似乎沒有跳躍。事實上有理數從l變到2並非連續地變化，因為中間跨過了許多無理數，如2的算術平方根。

因此，有理數之間的「空白部分」加上無理數構成實數，實數就可以連續變化。這種連續性可以說變數x從1變到2，意味著x要取遍1到2之間的一切實數。

我們設想用一把剪刀剪斷數軸，把數軸剪成兩段，那麼剪刀一定會剪在某個點上，即剪中了某一個實數。如果剪刀只是剪在一個隙縫上，意味著實數就不是連續的。

這時候有讀者會產生疑問，如果沒有隙縫，那麼應該剪在哪裡呢？如果剪在某一個點上，那麼這個點在哪半截數軸上呢？我們假設是從數軸點A處被剪斷的，那麼這個點不在左半截上，就在右半截上。因為點不可分割，同時不會消失，所以不會兩邊都有，也不會兩邊都沒有。因此，不管把數軸從什麼地方分成兩半截，總有半截是帶端點的，而另外半截沒有端點。從這個假想中我們可以領會到數軸、實數的連續性。

如果把全體負有理數放在一起組成甲集合，所有正有理數組成乙集合，則甲集合無最大數，乙集也無最小數。若從甲乙兩個集合之間剪一刀，就剪在縫裡了。然而在實數系中，這個縫就是用無理數填補起來。

這樣把有理數分成甲、乙兩部分，使乙中每個數比甲中每個數大，這種分法叫做有理數的一個戴德金分割，簡稱分割。有理數的每個分割確定一個實數。有縫隙的分割確定一個無理數，沒有縫隙的分割確定一個有理數。這樣建立實數系的方法是德國數學家戴德金(J.W.R.Dedekind，1831～1916)提出來的。

我們把全體實數分成甲、乙兩個非空集合，如果甲集合里任一個數a比乙集合里的任一個數b都小，或者甲集合里有最大數，或者乙集里有最小數，兩種情況必居其一，有且只有一種，這就叫做實數的連續性。